Metodos de integracion

Métodos de integración

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:^[1]

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo

Calcular la integral .

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec²(x). Por tanto:

Ejemplo

Calcular la integral .

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es .

No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

[editar] Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

[editar] Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Tenemos que por tanto derivando se obtiene
Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo  :
(límite inferior)
(límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

[editar] De interés

Supongamos ahora que la integral a resolver es:

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: y la sustitución conveniente resulta ser  :

,
Entonces
por otra parte o
la integral queda después de dicha sustitución:

[editar] Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral. .

.
Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:
.
"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) (=) un ( ) valiente ( ) soldado ( ) vestido ( ) de uniforme ( )" .
"Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(-integral) vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme
"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) una vaca ( ) sin ( ) cola ( ) vestida ( ) de uniforme ( )"
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

• Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.

2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.

3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

[editar] Integrales Trigonométricas

[editar] Integral que contiene potencias de senos y cosenos

·         En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

·         La identidad sen²x + cos²x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

[editar] Tendremos 3 casos:

[editar] Cuando n es impar

Cuando n = 2k + 1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sen²x = 1 − cos²x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo u = cos(x), du = − sen(x)dx. Como en la expresion no tenemos un − sen(x)dx multiplicamos ambos lados por * ( − 1) y nos queda la expresión − du = sen(x)dx que ya podemos sustituir:

[editar] Cuando m es impar

Cuando m = 2k + 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos²x = 1 − sen²x para poder expresar los factores restantes en términos del senx:

al hacer u = senx y du = cosxdx tendríamos

[editar] Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez n = 2k y m = 2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo -y- algunas veces nos sera útil utilizar la identidad

seria igual a:

[editar] Ejemplo #1

Determine

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,


Sustituyendo , tenemos luego

[editar] Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes

• Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

, se puede separar un factor sec²x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec²x = 1 + tan²x.

O bien, puesto que:

, se puede separar un factor secxtanx y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

[editar] Tendremos 5 casos:

[editar] 1. Cuando n es par

n = 2k separar un factor de sec²x y utilice sec²x = 1 + tan²x para lograr expresar los factores restantes en términos de tanx:

de esta manera podemos hacer u = tanx y du = sec²xdx y el integral quedaría así:

[editar] 2. Cuando m es impar

m = 2k + 1 apartar un factor de secxtanx y emplear tan²x = sec²x − 1 para poder expresar los factores que restan en términos de secx:

de esta manera podemos hacer u = secx y du = secx * tanxdx y nos queda

[editar] 3. La tangente tiene potencia par

[editar] 4. La Secante tiene potencia impar

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes .

[editar] 5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a senx y cosx recordando que:

 
 
  y

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

·         A veces será necesario poder integrar tanx por medio de la fórmula establecida:

·         Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por secx + tanx :

Si se sustituye u = secx + tanx, después du = (secxtanx + sec²x)dx, también, la integral se convierte en:

Así, se tiene: