Calculo Integral: Integral Impropia

En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones

Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

$Descripción: \int_a^c f(x)\,dx\,$

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

$Descripción: \lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,dx.\,$

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

$Descripción: \int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}$

puede interpretarse como:

$Descripción: \lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2},$

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

$Descripción: \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx$

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

$Descripción: \int_0^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx=\infty.$

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

$Descripción: \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.$

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

Las integrales impropias más básicas son integrales como:

$Descripción: \int_0^\infty {dx \over x^2+1}.$

Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computar esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que está siendo integrada es arctan x. La integral es

$Descripción: \lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\arctan b-\arctan 0=\pi/2-0=\pi/2.$

Considera

$Descripción: \int_0^1 \frac{dx}{x^{2/3}}.$

Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.

Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es

3x^{1 / 3},

la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor

$Descripción: 3 \cdot (1 - b^{1/3}).$

El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.

Considera la diferencia en los valores de dos límites:

$Descripción: \lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_a^1\frac{dx}{x}\right)=0,$

$Descripción: \lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_{2a}^1\frac{dx}{x}\right)=-\ln 2.$

La primera es el valor principal de Cauchy

$Descripción: \int_{-1}^1\frac{dx}{x}{\ } \left(\mbox{que}\ \mbox{da}\ -\infty+\infty\right).$

Similarmente, tenemos

$Descripción: \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0,$

pero

$Descripción: \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\ln 4.$

La primera es el valor principal

$Descripción: \int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,dx}{x^2+1}{\ } \left(\mbox{que}\ \mbox{da}\ -\infty+\infty\right).$

Todos los límites anteriores son casos de la forma de indeterminación ∞ − ∞.

Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

Son del tipo: $Descripción: \int_a^\infty\ f(x)\,dx\,$ ó $Descripción: \int_{-\infty}^b f(x)\,dx\,$
Para poder determinar su carácter realizamos la Si existe el $Descripción: \lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\,dx\,$ y es finito y en ese caso $Descripción: \int_a^\infty\ f(x)\,dx\,=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b...$

Son del tipo: $Descripción: \int_a^b f(x)\,dx\,$ y que

f (x)

no esta definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en

x = a

):
Si el $Descripción: \lim_{c\to a}\int_c^b f(x)\,dx\,$ existe y es finito y en este caso $Descripción: \int_a^b f(x)\,dx\,=\lim_{c\to a}\int_c^b f(x)\,dx\,$ , entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.
Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

Integrales impropias

Una integral es impropia si:

Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie)

La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b] (impropia de 2ª especie)

Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos situaciones:

o Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor corresponde con el valor del límite (ejemplo superior).

o Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor queda indeterminado.

En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞.

Integrales impropias

· Integrales impropias de primera especie (función continua en una semirrecta): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de convergencia dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson.

· Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y las de primera especie.

· Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado, salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema fundamental.

Calculo Integral

martes, 31 de mayo de 2011

Integral Impropia

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