Metodos de integracion

Métodos de integración

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:^[1]

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo

Calcular la integral .

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec²(x). Por tanto:

Ejemplo

Calcular la integral .

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es .

No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

[editar] Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

[editar] Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Tenemos que por tanto derivando se obtiene
Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo  :
(límite inferior)
(límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

[editar] De interés

Supongamos ahora que la integral a resolver es:

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: y la sustitución conveniente resulta ser  :

,
Entonces
por otra parte o
la integral queda después de dicha sustitución:

[editar] Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral. .

.
Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:
.
"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) (=) un ( ) valiente ( ) soldado ( ) vestido ( ) de uniforme ( )" .
"Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(-integral) vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme
"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) una vaca ( ) sin ( ) cola ( ) vestida ( ) de uniforme ( )"
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

• Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.

2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.

3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

[editar] Integrales Trigonométricas

[editar] Integral que contiene potencias de senos y cosenos

·         En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

·         La identidad sen²x + cos²x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

[editar] Tendremos 3 casos:

[editar] Cuando n es impar

Cuando n = 2k + 1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sen²x = 1 − cos²x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo u = cos(x), du = − sen(x)dx. Como en la expresion no tenemos un − sen(x)dx multiplicamos ambos lados por * ( − 1) y nos queda la expresión − du = sen(x)dx que ya podemos sustituir:

[editar] Cuando m es impar

Cuando m = 2k + 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos²x = 1 − sen²x para poder expresar los factores restantes en términos del senx:

al hacer u = senx y du = cosxdx tendríamos

[editar] Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez n = 2k y m = 2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo -y- algunas veces nos sera útil utilizar la identidad

seria igual a:

[editar] Ejemplo #1

Determine

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,


Sustituyendo , tenemos luego

[editar] Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes

• Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

, se puede separar un factor sec²x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec²x = 1 + tan²x.

O bien, puesto que:

, se puede separar un factor secxtanx y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

[editar] Tendremos 5 casos:

[editar] 1. Cuando n es par

n = 2k separar un factor de sec²x y utilice sec²x = 1 + tan²x para lograr expresar los factores restantes en términos de tanx:

de esta manera podemos hacer u = tanx y du = sec²xdx y el integral quedaría así:

[editar] 2. Cuando m es impar

m = 2k + 1 apartar un factor de secxtanx y emplear tan²x = sec²x − 1 para poder expresar los factores que restan en términos de secx:

de esta manera podemos hacer u = secx y du = secx * tanxdx y nos queda

[editar] 3. La tangente tiene potencia par

[editar] 4. La Secante tiene potencia impar

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes .

[editar] 5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a senx y cosx recordando que:

 
 
  y

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

·         A veces será necesario poder integrar tanx por medio de la fórmula establecida:

·         Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por secx + tanx :

Si se sustituye u = secx + tanx, después du = (secxtanx + sec²x)dx, también, la integral se convierte en:

Así, se tiene: 

Que es el area

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Herodoto
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares así como el cálculo aproximado del número

Integral definida

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?

Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será

.

Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √¹⁄₅, √²⁄₅, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se

obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = ²⁄_3x^3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = x^q, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (x^q+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.